使用實(shí)時(shí)示波器進(jìn)行FFT分析的六大原則
我們生活在時(shí)域中。這是我們衡量所有數(shù)字性能的地方。但有時(shí)，我們可以通過繞道頻域來更快地得到答案。通過六個(gè)原理，我們可以了解示波器如何將時(shí)域測(cè)量轉(zhuǎn)換為頻域視圖。所有六種原理均由具有快速傅里葉變換 （FFT） 功能的示波器“在引擎蓋下”應(yīng)用。
1. 頻譜是正弦波分量的組合
在頻域中，我們唯一可以考慮的波形是正弦波。還有其他特殊波形，其組合可以描述任何時(shí)域波形，例如勒讓德多項(xiàng)式、Hermite 多項(xiàng)式，甚至小波，但我們挑出正弦波作為頻域描述的原因是正弦波是二階、線性和微分方程的解——這些方程在涉及電阻器的電路中經(jīng)常出現(xiàn)， 電容器和電感元件。這意味著，當(dāng)使用正弦波組合時(shí)，與RLC電路產(chǎn)生或相互作用的信號(hào)描述比任何其他功能都更簡(jiǎn)單，因?yàn)檎也ㄗ匀粫?huì)發(fā)生。
由示波器測(cè)量的正弦波在采集緩沖器（圖1）中具有<>萬個(gè)電壓時(shí)間[V（t）]數(shù)據(jù)點(diǎn)，在頻域中僅用三個(gè)數(shù)字描述：頻率值、幅度值和相位值。這是對(duì)原始復(fù)雜波形的顯著簡(jiǎn)化。
圖1.時(shí)域中的100 MHz正弦波及其頻域中的頻譜顯示了100 MHz處的一個(gè)峰值。
2. 無限地將波形附加到自身上，創(chuàng)建周期性波形
當(dāng)我們?cè)跁r(shí)域中獲取波形并將其轉(zhuǎn)換為頻域時(shí)，我們最終會(huì)得到一組正弦波，每個(gè)正弦波都有一個(gè)頻率值、一個(gè)幅度和一個(gè)相位。在時(shí)域中，我們將測(cè)量描述為具有總采集時(shí)間T和樣本之間的時(shí)間間隔△T的采集緩沖區(qū)。當(dāng)我們?cè)陬l域中描述相同的波形時(shí)，我們將所有正弦波分量的集合（每個(gè)分量都有頻率、幅度和相位）稱為頻譜。
不幸的是，我們只能在周期性的V（t）波形上使用離散傅立葉變換（DFT）。如果它不是周期性的，我們必須人為地使它周期性。我們用來將測(cè)量數(shù)據(jù)的任何任意采集緩沖器轉(zhuǎn)換為周期波形的技巧是獲取總時(shí)間T的采集緩沖器，并在過去永遠(yuǎn)重復(fù)它，在將來永遠(yuǎn)重復(fù)它。
當(dāng)我們有這種人為重復(fù)的波形時(shí)，我們可以應(yīng)用DFT的功率來數(shù)學(xué)計(jì)算頻譜中的每個(gè)頻率分量。以下是用于計(jì)算每個(gè)頻率分量的幅度和相位的公式：
這些積分在頻譜中創(chuàng)建某些特征。
3. 頻譜中僅出現(xiàn)離散頻率;最低是根本的
在計(jì)算的頻譜中，僅顯示離散頻率值。最低頻率分量稱為基波。它是我們可以放入采集緩沖時(shí)間的最低頻率正弦波。這個(gè)最低頻率正弦波的周期P是總采集時(shí)間T。
由于P等于T，基頻為：
頻譜中的每個(gè)頻率分量的頻率僅為基波的整數(shù)倍：
基波的倍數(shù)是我們將在頻譜中看到的唯一頻率分量。這意味著，每個(gè)頻率分量之間的頻率間隔或分辨率是基頻。如果我們想要更高的分辨率來區(qū)分頻譜中間隔較近的頻率特征，我們需要在示波器中使用更長(zhǎng)的采集時(shí)間。
4.最高頻率是奈奎斯特，或采樣率的一半
頻譜中的最高頻率分量與緩沖區(qū)中采樣點(diǎn)之間的時(shí)間間隔有關(guān)。至少，我們需要在一個(gè)周期內(nèi)測(cè)量?jī)蓚€(gè)V（t）點(diǎn)來計(jì)算該頻率分量的幅度和相位的值。這意味著我們可以計(jì)算的最高頻率正弦波的周期是時(shí)間間隔的兩倍，或Pmax = 2 x △T。
頻譜中最高的頻率分量也稱為奈奎斯特頻率。由于獲取數(shù)據(jù)的采樣率為奈奎斯特頻率1/△T，因此我們可以計(jì)算正弦波分量的最高頻率是采樣率的一半。如果采樣率為 10 GS/s，則奈奎斯特頻率為 5 GHz。
理想正弦波的平均值始終為 0。這意味著，當(dāng)我們使用一組正弦波來描述真實(shí)波形時(shí)，重新創(chuàng)建的時(shí)域波形的平均值始終為0。但實(shí)際波形具有平均值或直流偏移。為了解決這個(gè)問題，我們將直流分量存儲(chǔ)在0 Hz頻率分量中，這是0 x基波。在大多數(shù)示波器中，您可以抑制繪制 0千頻率分量以放大顯示器的比例。
5. FFT 通過首先將緩沖區(qū)截?cái)酁?2^n 個(gè)采樣點(diǎn)來加快計(jì)算速度
一百萬個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)將涉及大約一萬億次DFT計(jì)算來創(chuàng)建一個(gè)頻譜。這可能需要比方便更長(zhǎng)的時(shí)間來計(jì)算。為了解決這個(gè)問題，我們使用稱為FFT的DFT的更快版本。它計(jì)算與 DFT 相同的積分，但它應(yīng)用矩陣數(shù)學(xué)來使用點(diǎn)總數(shù)為 2 的冪來執(zhí)行計(jì)算。如果緩沖區(qū)中有 2 萬個(gè)點(diǎn)，則 FFT 計(jì)算中可以包含的最大點(diǎn)數(shù)為 19^524 = 288，<> 個(gè)點(diǎn)。我們丟棄了幾乎一半的測(cè)量數(shù)據(jù)，以獲得令人難以置信的快速計(jì)算時(shí)間。
執(zhí)行FFT的第一步是定義采集緩沖區(qū)的區(qū)域，該區(qū)域包含將要計(jì)算的最大數(shù)量的2^n點(diǎn)。大多數(shù)示波器允許您選擇時(shí)域屏幕的中心區(qū)域或從左邊緣計(jì)數(shù)。圖2顯示了FFT計(jì)算中將包括的虛線之間的區(qū)域。
圖2.垂直虛線之間是采集緩沖區(qū)的區(qū)域，其中包含將在FFT中使用的2^n點(diǎn)。
當(dāng)采集緩沖時(shí)間為1 μs，并且我們有1萬個(gè)點(diǎn)時(shí)，我們預(yù)計(jì)基波為1 MHz。在頻譜中，F(xiàn)FT采集緩沖器小于此值，這意味著實(shí)際分辨率略大于<> MHz。但是，在考慮頻譜特征時(shí)，這些估計(jì)仍然是一個(gè)很好的價(jià)值。
6. 窗口功能可防止因截?cái)喽鴮?dǎo)致的光譜泄漏
為了創(chuàng)建周期波形，我們采用采集緩沖器并無限期地重復(fù)它。使用 FFT 函數(shù)時(shí)，我們進(jìn)一步截?cái)嗔瞬杉彌_區(qū)，并無限期地重復(fù)截?cái)嗟木彌_區(qū)。這意味著在每個(gè)附加采集緩沖器的邊界處，對(duì)應(yīng)于一個(gè)緩沖器的結(jié)尾和下一個(gè)緩沖器的開始的波形可能存在不連續(xù)性（圖 3）。
圖3.在采集緩沖器中沒有整數(shù)個(gè)周期的正弦波信號(hào)示例。當(dāng)相互附加時(shí)，緩沖器每個(gè)邊緣的波形都有一個(gè)不連續(xù)性，由NI提供。
通常，在每個(gè)緩沖器中具有整數(shù)周期數(shù)的正弦波的頻譜在其峰值頻率處將具有單個(gè)頻率尖峰。但是，如果由于截?cái)嗟牟杉彌_器而人為地切斷了正弦波，則無限長(zhǎng)的波形現(xiàn)在將具有不連續(xù)性，這將迫使峰值頻率中的一些頻率分量進(jìn)入相鄰的頻率分量，這可能導(dǎo)致窄峰值失真。
這種效應(yīng)稱為光譜泄漏。這是由于第一個(gè)電壓值與最后一個(gè)電壓值不同而導(dǎo)致緩沖器邊界處不連續(xù)性的偽影。減少此偽影的方法是通過將整個(gè)采集緩沖區(qū)乘以窗口函數(shù)來人為地減少不連續(xù)性。這會(huì)逐漸強(qiáng)制采集緩沖器末端的電壓值為0，從而保證一個(gè)緩沖器的末端與下一個(gè)緩沖器的開頭連續(xù)。
有許多常用的窗口函數(shù)。它們的不同之處在于它們?cè)试S的光譜泄漏量和由此產(chǎn)生的分辨率。除非您有充分的理由，否則我們建議您始終使用 von Hann（有時(shí)稱為 Hanning）或 Blackman-Harris 函數(shù)。
分析頻域中的時(shí)域波形
頻譜分析的價(jià)值在于能夠識(shí)別重復(fù)信號(hào)的頻譜“指紋”，其頻率在基波（1/采集緩沖器）和奈奎斯特（<>/<> x采樣率）之間的范圍內(nèi)。每次示波器測(cè)量新的時(shí)域電壓采集緩沖器時(shí)，都會(huì)顯示新計(jì)算的頻譜響應(yīng)。隨著源中的周期性信號(hào)發(fā)生變化，它們的光譜指紋也會(huì)發(fā)生變化。
任何可能有助于識(shí)別給定頻率的周期信號(hào)的應(yīng)用都是實(shí)時(shí)頻譜分析的絕佳候選者。最常見的應(yīng)用是搜索重要信號(hào)的干擾源。圖4顯示了開關(guān)模式電源（SMPS）負(fù)載變化時(shí)輸出的頻譜響應(yīng)。峰值約為50 kHz，開關(guān)頻率隨負(fù)載變化而隨時(shí)間變化，如圖上部的頻譜圖所示。當(dāng)您在這些頻率分量中觀察放大器的噪聲或振蕩器的抖動(dòng)時(shí)，您就會(huì)知道可能的根本原因。
圖4.輸出負(fù)載變化時(shí)SMPS輸出的實(shí)時(shí)頻譜示例，顯示了峰值頻率的時(shí)間變化。
在查看RF干擾頻譜時(shí)，我們通?？梢允叭√囟ǖ耐ㄐ判盘?hào)。圖5顯示了使用帶有大尖端環(huán)路的10倍探頭測(cè)量的USB供電設(shè)備中電源軌的實(shí)時(shí)頻譜。頻譜指紋顯示從87 MHz到108 MHz的FM無線電頻段的拾音。
圖5.測(cè)量的USB電源軌噪聲的實(shí)時(shí)頻譜，顯示探頭拾取的FM無線電頻段中的大型分量。
我們生活在時(shí)域中。這是我們衡量所有數(shù)字性能的地方。但有時(shí)，我們可以通過繞道頻域來更快地得到答案。通過六個(gè)原理，我們可以了解示波器如何將時(shí)域測(cè)量轉(zhuǎn)換為頻域視圖。所有六種原理均由具有快速傅里葉變換 （FFT） 功能的示波器“在引擎蓋下”應(yīng)用。
1. 頻譜是正弦波分量的組合
在頻域中，我們唯一可以考慮的波形是正弦波。還有其他特殊波形，其組合可以描述任何時(shí)域波形，例如勒讓德多項(xiàng)式、Hermite 多項(xiàng)式，甚至小波，但我們挑出正弦波作為頻域描述的原因是正弦波是二階、線性和微分方程的解——這些方程在涉及電阻器的電路中經(jīng)常出現(xiàn)， 電容器和電感元件。這意味著，當(dāng)使用正弦波組合時(shí)，與RLC電路產(chǎn)生或相互作用的信號(hào)描述比任何其他功能都更簡(jiǎn)單，因?yàn)檎也ㄗ匀粫?huì)發(fā)生。
由示波器測(cè)量的正弦波在采集緩沖器（圖1）中具有<>萬個(gè)電壓時(shí)間[V（t）]數(shù)據(jù)點(diǎn)，在頻域中僅用三個(gè)數(shù)字描述：頻率值、幅度值和相位值。這是對(duì)原始復(fù)雜波形的顯著簡(jiǎn)化。
圖1.時(shí)域中的100 MHz正弦波及其頻域中的頻譜顯示了100 MHz處的一個(gè)峰值。
2. 無限地將波形附加到自身上，創(chuàng)建周期性波形
當(dāng)我們?cè)跁r(shí)域中獲取波形并將其轉(zhuǎn)換為頻域時(shí)，我們最終會(huì)得到一組正弦波，每個(gè)正弦波都有一個(gè)頻率值、一個(gè)幅度和一個(gè)相位。在時(shí)域中，我們將測(cè)量描述為具有總采集時(shí)間T和樣本之間的時(shí)間間隔△T的采集緩沖區(qū)。當(dāng)我們?cè)陬l域中描述相同的波形時(shí)，我們將所有正弦波分量的集合（每個(gè)分量都有頻率、幅度和相位）稱為頻譜。
不幸的是，我們只能在周期性的V（t）波形上使用離散傅立葉變換（DFT）。如果它不是周期性的，我們必須人為地使它周期性。我們用來將測(cè)量數(shù)據(jù)的任何任意采集緩沖器轉(zhuǎn)換為周期波形的技巧是獲取總時(shí)間T的采集緩沖器，并在過去永遠(yuǎn)重復(fù)它，在將來永遠(yuǎn)重復(fù)它。
當(dāng)我們有這種人為重復(fù)的波形時(shí)，我們可以應(yīng)用DFT的功率來數(shù)學(xué)計(jì)算頻譜中的每個(gè)頻率分量。以下是用于計(jì)算每個(gè)頻率分量的幅度和相位的公式：
這些積分在頻譜中創(chuàng)建某些特征。
3. 頻譜中僅出現(xiàn)離散頻率;最低是根本的
在計(jì)算的頻譜中，僅顯示離散頻率值。最低頻率分量稱為基波。它是我們可以放入采集緩沖時(shí)間的最低頻率正弦波。這個(gè)最低頻率正弦波的周期P是總采集時(shí)間T。
由于P等于T，基頻為：
頻譜中的每個(gè)頻率分量的頻率僅為基波的整數(shù)倍：
基波的倍數(shù)是我們將在頻譜中看到的唯一頻率分量。這意味著，每個(gè)頻率分量之間的頻率間隔或分辨率是基頻。如果我們想要更高的分辨率來區(qū)分頻譜中間隔較近的頻率特征，我們需要在示波器中使用更長(zhǎng)的采集時(shí)間。
4.最高頻率是奈奎斯特，或采樣率的一半
頻譜中的最高頻率分量與緩沖區(qū)中采樣點(diǎn)之間的時(shí)間間隔有關(guān)。至少，我們需要在一個(gè)周期內(nèi)測(cè)量?jī)蓚€(gè)V（t）點(diǎn)來計(jì)算該頻率分量的幅度和相位的值。這意味著我們可以計(jì)算的最高頻率正弦波的周期是時(shí)間間隔的兩倍，或Pmax = 2 x △T。
頻譜中最高的頻率分量也稱為奈奎斯特頻率。由于獲取數(shù)據(jù)的采樣率為奈奎斯特頻率1/△T，因此我們可以計(jì)算正弦波分量的最高頻率是采樣率的一半。如果采樣率為 10 GS/s，則奈奎斯特頻率為 5 GHz。
理想正弦波的平均值始終為 0。這意味著，當(dāng)我們使用一組正弦波來描述真實(shí)波形時(shí)，重新創(chuàng)建的時(shí)域波形的平均值始終為0。但實(shí)際波形具有平均值或直流偏移。為了解決這個(gè)問題，我們將直流分量存儲(chǔ)在0 Hz頻率分量中，這是0 x基波。在大多數(shù)示波器中，您可以抑制繪制 0千頻率分量以放大顯示器的比例。
5. FFT 通過首先將緩沖區(qū)截?cái)酁?2^n 個(gè)采樣點(diǎn)來加快計(jì)算速度
一百萬個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)將涉及大約一萬億次DFT計(jì)算來創(chuàng)建一個(gè)頻譜。這可能需要比方便更長(zhǎng)的時(shí)間來計(jì)算。為了解決這個(gè)問題，我們使用稱為FFT的DFT的更快版本。它計(jì)算與 DFT 相同的積分，但它應(yīng)用矩陣數(shù)學(xué)來使用點(diǎn)總數(shù)為 2 的冪來執(zhí)行計(jì)算。如果緩沖區(qū)中有 2 萬個(gè)點(diǎn)，則 FFT 計(jì)算中可以包含的最大點(diǎn)數(shù)為 19^524 = 288，<> 個(gè)點(diǎn)。我們丟棄了幾乎一半的測(cè)量數(shù)據(jù)，以獲得令人難以置信的快速計(jì)算時(shí)間。
執(zhí)行FFT的第一步是定義采集緩沖區(qū)的區(qū)域，該區(qū)域包含將要計(jì)算的最大數(shù)量的2^n點(diǎn)。大多數(shù)示波器允許您選擇時(shí)域屏幕的中心區(qū)域或從左邊緣計(jì)數(shù)。圖2顯示了FFT計(jì)算中將包括的虛線之間的區(qū)域。
圖2.垂直虛線之間是采集緩沖區(qū)的區(qū)域，其中包含將在FFT中使用的2^n點(diǎn)。
當(dāng)采集緩沖時(shí)間為1 μs，并且我們有1萬個(gè)點(diǎn)時(shí)，我們預(yù)計(jì)基波為1 MHz。在頻譜中，F(xiàn)FT采集緩沖器小于此值，這意味著實(shí)際分辨率略大于<> MHz。但是，在考慮頻譜特征時(shí)，這些估計(jì)仍然是一個(gè)很好的價(jià)值。
6. 窗口功能可防止因截?cái)喽鴮?dǎo)致的光譜泄漏
為了創(chuàng)建周期波形，我們采用采集緩沖器并無限期地重復(fù)它。使用 FFT 函數(shù)時(shí)，我們進(jìn)一步截?cái)嗔瞬杉彌_區(qū)，并無限期地重復(fù)截?cái)嗟木彌_區(qū)。這意味著在每個(gè)附加采集緩沖器的邊界處，對(duì)應(yīng)于一個(gè)緩沖器的結(jié)尾和下一個(gè)緩沖器的開始的波形可能存在不連續(xù)性（圖 3）。
圖3.在采集緩沖器中沒有整數(shù)個(gè)周期的正弦波信號(hào)示例。當(dāng)相互附加時(shí)，緩沖器每個(gè)邊緣的波形都有一個(gè)不連續(xù)性，由NI提供。
通常，在每個(gè)緩沖器中具有整數(shù)周期數(shù)的正弦波的頻譜在其峰值頻率處將具有單個(gè)頻率尖峰。但是，如果由于截?cái)嗟牟杉彌_器而人為地切斷了正弦波，則無限長(zhǎng)的波形現(xiàn)在將具有不連續(xù)性，這將迫使峰值頻率中的一些頻率分量進(jìn)入相鄰的頻率分量，這可能導(dǎo)致窄峰值失真。
這種效應(yīng)稱為光譜泄漏。這是由于第一個(gè)電壓值與最后一個(gè)電壓值不同而導(dǎo)致緩沖器邊界處不連續(xù)性的偽影。減少此偽影的方法是通過將整個(gè)采集緩沖區(qū)乘以窗口函數(shù)來人為地減少不連續(xù)性。這會(huì)逐漸強(qiáng)制采集緩沖器末端的電壓值為0，從而保證一個(gè)緩沖器的末端與下一個(gè)緩沖器的開頭連續(xù)。
有許多常用的窗口函數(shù)。它們的不同之處在于它們?cè)试S的光譜泄漏量和由此產(chǎn)生的分辨率。除非您有充分的理由，否則我們建議您始終使用 von Hann（有時(shí)稱為 Hanning）或 Blackman-Harris 函數(shù)。
分析頻域中的時(shí)域波形
頻譜分析的價(jià)值在于能夠識(shí)別重復(fù)信號(hào)的頻譜“指紋”，其頻率在基波（1/采集緩沖器）和奈奎斯特（<>/<> x采樣率）之間的范圍內(nèi)。每次示波器測(cè)量新的時(shí)域電壓采集緩沖器時(shí)，都會(huì)顯示新計(jì)算的頻譜響應(yīng)。隨著源中的周期性信號(hào)發(fā)生變化，它們的光譜指紋也會(huì)發(fā)生變化。
任何可能有助于識(shí)別給定頻率的周期信號(hào)的應(yīng)用都是實(shí)時(shí)頻譜分析的絕佳候選者。最常見的應(yīng)用是搜索重要信號(hào)的干擾源。圖4顯示了開關(guān)模式電源（SMPS）負(fù)載變化時(shí)輸出的頻譜響應(yīng)。峰值約為50 kHz，開關(guān)頻率隨負(fù)載變化而隨時(shí)間變化，如圖上部的頻譜圖所示。當(dāng)您在這些頻率分量中觀察放大器的噪聲或振蕩器的抖動(dòng)時(shí)，您就會(huì)知道可能的根本原因。
圖4.輸出負(fù)載變化時(shí)SMPS輸出的實(shí)時(shí)頻譜示例，顯示了峰值頻率的時(shí)間變化。
在查看RF干擾頻譜時(shí)，我們通常可以拾取特定的通信信號(hào)。圖5顯示了使用帶有大尖端環(huán)路的10倍探頭測(cè)量的USB供電設(shè)備中電源軌的實(shí)時(shí)頻譜。頻譜指紋顯示從87 MHz到108 MHz的FM無線電頻段的拾音。
圖5.測(cè)量的USB電源軌噪聲的實(shí)時(shí)頻譜，顯示探頭拾取的FM無線電頻段中的大型分量。